Karol Borsuk

Urodzony 8 V 1905 w Warszawie. Studia na UW, nauczyciel gimnazjalny (1927–1930). Asystent na UW (1928), tamże doktorat (1930) i habilitacja. Stypendysta Funduszu Kultury Narodowej; pobyty we Lwowie, Wiedniu, Zurychu i Innsbrucku (1931–1932). Profesor UW (od 1938 i 1946–1968). W czasie okupacji wykładowca na kursie politechnicznym w Szkole Budowy Maszyn im. Wawelberga i Rotwanda, uczestnik tajnego nauczania. Kierownik Katedry Geometrii UW (od 1946), a także Seminarium Matematyki (1952–1964), przekształconego później w Instytut Matematyki UW.

Matematyk, wychowanek warszawskiej szkoły topologicznej, wybitny przedstawiciel topologii geometrycznej; twórca pojęcia retraktu i teorii kształtu. Zastępca dyrektora ds. badań naukowych Państwowego Instytutu Matematycznego (od 1952 Instytutu Matematycznego PAN) (1956–1967), kierownik Działu (później Zakładu) Topologii (1948–1975).
Członek TNW (1937), PAU (1945), PAN (1952), Polskiego Towarzystwa Matematycznego (1929), Bułgarskiej Akademii Nauk, Papieskiej Akademii Nauk. Doktor honoris causa uniwersytetu w Zagrzebiu (1976).
Sekretarz redakcji (od 1946), a następnie zastępca redaktora (od 1952) „Fundamenta Mathematicae”.
Zmarł 24 I 1982 w Warszawie.

On Symmetric Products of Topological Spaces, [s. l.] 1931; Geometria analityczna w n wymiarach: wykłady uniwersyteckie, Warszawa 1950; Theory of Retracts, Warszawa 1967; Theory of Shape, Warszawa 1975; Collected Papers, 2 t., Warszawa 1983.

A. Śródka, Uczeni polscy XIX-XX stulecia, t. I: A-G, Warszawa 1994.

ROMAN DUDA

KAROL BORSUK

1905–1982

 

Szeregi inteligencji zasilała napływająca w XIX wieku do miast polskich szlachta. Jednym z takich szlachciców był Marian Borsuk z Białorusi, który został znanym w Warszawie chirurgiem. W jego to rodzinie, z małżeństwa z Zofią z Maciejewskich, urodził się 8 maja 1905 roku w Warszawie późniejszy wybitny matematyk Karol Borsuk1. W latach 1915–1923 był on uczniem gimnazjum im. Staszica w Warszawie. W latach 1923–1927 studiował matematykę na Uniwersytecie Warszawskim. W 1926 roku Polska wprowadziła system magisterski i Karol ukończył studia z tytułem magistra uzyskanym w 1927 roku na podstawie pracy o iterowaniu przekształceń ciągłych, napisanej pod kierunkiem Wacława Sierpińskiego. Posad akademickich było wtedy mało, ale można było łączyć nauczanie w szkole i własną pracę naukową. Przez trzy lata 1927–1930 mgr Karol Borsuk uczył w prywatnym gimnazjum K. Malczewskiej. W 1928 roku opublikował swoją pierwszą pracę i od 1929 roku miał już posadę asystenta na UW. Doktoryzował się rok później na podstawie rozprawy o retraktach, której promotorem był prof. Stefan Mazurkiewicz2.

Doktor Karol Borsuk był wychowankiem warszawskiej szkoły topologicznej i wybitnym przedstawicielem topologii geometrycznej, którą rozumiał jako topologię przestrzeni metrycznych ośrodkowych, czyli podzbiorów kostki Hilberta, a najczęściej podzbiorów przestrzeni euklidesowych, z reguły przy tym zwartych. Bada się w niej zagadnienia topologiczne inspirowane geometrycznie, swobodnie używając różnych metod, w tym algebraicznych, ale samych tych metod nie czyniąc przedmiotem badań. Jeśli za przewodnią ideę topologii warszawskiej uznać badanie ogólnych rodzajów przestrzeni jak przestrzenie spójne, metryczne, ośrodkowe, zwarte, kontinua itp., to Borsuk szedł jakby w drugą stronę. Mając niezwykłą intuicję geometryczną i będąc niechętny zbyt ogólnym definicjom i osobliwym przykładom, starał się wyróżniać klasy stosunkowo prostych przestrzeni topologicznych, z nadzieją na uzyskanie ich klasyfikacji. Osobliwości, jakie i tam czasem spotykał, nie traktował jako ciekawych obiektów badawczych, lecz jako wskazówki, że należy poprawić definicję klasy w celu ich wyeliminowania.

Pierwszym przejawem wielkiego talentu Borsuka było wprowadzenie przezeń pojęcia retraktu w 1931 roku (termin pochodzi od Mazurkiewicza): podzbiór A przestrzeni X jest jej retraktem, gdy istnieje przekształcenie ciągłe f: X → A, które jest stałe na A, tzn. f(X) = A f(a) = a dla każdego a ∈ A. Retrakcja jest topologicznym odpowiednikiem geometrycznego rzutowania i talent Borsuka wyraził się w tym, że dostrzegł w geometrycznym pojęciu rzutowania topologiczne walory. Retrakt absolutny [2] (AR, z ang. Absolute Retract) i absolutny retrakt otoczeniowy [10] (ANR, z ang. Absolute Neighborhood Retract) uważał za topologiczne uogólnienia geometrycznych wielościanów (AR – wielościany wypukłe, ANR – wielościany dowolne)3. Z myślą, że jest to ważna klasa przestrzeni topologicznych, rozwinął ich teorię. Sam i ze swoimi uczniami, których zawsze miał wielu, a do których dołączali młodzi matematycy z innych krajów. Ze swoich prac w tym zakresie wyróżniał [17] (zachowanie się grup homologii i grupy podstawowej przy retrakcjach), [32] (sklejanie retraktów), [41] (wyróżnienie podklasy ANR-ów o szczególnie regularnych własnościach), [42] (zanurzanie w retraktach), [44] (Borsuk’s fibre theorem), [67] (konstrukcja przestrzeni zwartej i lokalnie ściągalnej, która nie jest ANR-em), [74] (konstrukcja nieprzywiedlnego AR-u), [113] i [114] (o wymiarach ANR-ów). Ukoronowaniem badań Borsuka w zakresie teorii retraktów była jego monografia4, w której cytował 74 prace własne (w tym 8 wspólnych).

Dużą rolę w rozwijaniu kadr naukowych w dwudziestoleciu międzywojennym odgrywał Fundusz Kultury Narodowej, przyznający roczne stypendia na studia uzupełniające uzdolnionym młodym ludziom. Takie stypendium na rok 1931/1932 otrzymał dr Karol Borsuk i wykorzystał je na pobyty we Lwowie, Wiedniu, Zurychu i Innsbrucku, gdzie nawiązał kontakty naukowe z takimi uczonymi jak Stanisław Ulam, Karl Menger, Heinz Hopf i Leopold Vietoris. Po powrocie do kraju habilitował się w 1934 roku na podstawie rozprawy zawierającej topologiczną charakteryzację sfer euklidesowych5.

Wśród obiektów topologicznych prostotą i znaczeniem wyróżniają się sfery Sn. Borsuk wykazał [2], że sfery Sn są nieściągalne (nie istnieje retrakcja na żaden ich podzbiór właściwy), ale wkrótce dodał do tego nową ich własność. Jednym mianowicie z najciekawszych wyników Borsuka w tym zakresie (zasugerowanym przez Stanisława Ulama) było tzw. twierdzenie o antypodach [15]: każde przekształcenie ciągłe f: Sn → Rn skleja jakieś dwa punkty antypodyczne, tzn. f(x) = f(-x) dla pewnego x Sn. Dzięki temu wynikowi do topologii weszła geometryczna idea symetrii. Rozwinęła się bogata teoria oferująca szerokie uogólnienia i ciekawe zastosowania6. Na temat przekształceń w sfery Borsuk opublikował ponad 20 prac, z których, oprócz wspomnianych [2] i [15], wyróżniał jeszcze [3] (badanie jednosprzęgłości), [12] i [75] (rozcinanie przestrzeni euklidesowych), [16] (związek z pierwszą liczbą Bettiego), [40] (leżenie w przestrzeni euklidesowej), [79] (początek badań własności homologicznych przestrzeni odwzorowań w sfery; później rozwinął to John C. Moore7).

W odróżnieniu od innych przedstawicieli warszawskiej szkoły topologicznej, skupionych na metodach mnogościowych, Borsuk doceniał znaczenie metod algebraicznych. Nie był topologiem algebraicznym, ale stworzył pojęcie, które do topologii algebraicznej weszło. W 1936 roku anonsował mianowicie konstrukcję grup kohomotopii [38] (por. także [39] i [52]), jednakże wskutek wojny, odcięty od innych ośrodków i pozbawiony możliwości pracy naukowej, koncepcji tej nie rozwinął. Jej znaczenie dostrzegł jednak i upowszechnił Edwin Spanier8. Tak, jak teoria grup homotopii πn(X) przestrzeni X opierała się na badaniu przekształceń Sn → X, tak teoria grup kohomotopii πn(X) przestrzeni X została oparta na badaniu przekształceń X → Sn, gdzie dim Xn – 2. Jak dziś wiadomo, grupy kohomotopii prowadzą do stabilnych grup homotopii, co pozwala uznać Borsuka za prekursora tych ostatnich. Do tematu grup kohomotopii Borsuk wrócił jeszcze w [108], gdzie wprowadził pewne ich uogólnienie.

Habilitacja dała Borsukowi status docenta UW. Pod koniec lat 30. doc. dr Karol Borsuk miał już uznaną pozycję międzynarodową, jednakże uzyskanie dla niego stanowiska profesora UW się przeciągało. Wydział wystąpił z takim wnioskiem już w 1936 roku, ale jego realizacja napotykała opory w Ministerstwie Wyznań Religijnych i Oświecenia Publicznego. Jedną z przyczyn mogła być jego postawa – z dużą odwagą cywilną występował bowiem przeciwko antysemickim ekscesom. Jak świadczą jego ówcześni słuchacze (Bolesław Gleichgewicht), potrafił wyrzucić bojówkę endecką, która wtargnęła na jego wykład. Ale w 1938 roku Borsuk został profesorem nadzwyczajnym UW.

W 1936 roku doc. dr Karol Borsuk ożenił się z Zofią z Paszkowskich. Mieli dwie córki: Elżbietę i Marię Magdalenę.

Czas wojny prof. Borsuk spędził w rodzinnym mieście. Z natury cichy i spokojny, wykładał na kursie politechnicznym w Szkole Budowy Maszyn im. Wawelberga i Rotwanda, a jednocześnie zaangażował się w nauczanie na podziemnym Uniwersytecie Warszawskim9. Podstawowym źródłem utrzymania rodziny był jednak prowadzony przez niego sklepik, służący jednocześnie za punkt kontaktowy dla podziemia. Przypłacił to kilkumiesięcznym pobytem na Pawiaku w 1943 roku, gdzie cudem uniknął rozstrzelania (za wysoką łapówkę wykupiła go żona).

Mało znanym jego osiągnięciem czasu wojny była oryginalna gra planszowa, wymyślona przezeń w sklepiku. Gra się 12-ścienną kostką, a celem gry, mającej charakter ekonomiczny, jest wyhodowanie dużego stada zwierząt domowych w warunkach zagrożeń ze strony zwierząt dzikich. Gra wymaga liczenia, przewidywania i kalkulowania ryzyka. Była kilkakrotnie wznawiana, niedawno (2007) pod nazwą „Superfarmer” (por. www.superfarmer.pl).

Po wybuchu powstania warszawskiego prof. Borsuk z rodziną zostali w połowie sierpnia 1944 roku wywiezieni do obozu w Pruszkowie, skąd udało im się uciec i do wyzwolenia spod okupacji niemieckiej ukrywali się w Tarczynie, małym miasteczku w pobliżu Warszawy. Po wznowieniu działalności przez Uniwersytet Warszawski Borsuk podjął obowiązki (od 1946 roku jako profesor zwyczajny), obejmując Katedrę Geometrii, a w latach 1952–1964 kierując także Seminarium Matematyki, później przekształconym w Instytut Matematyki UW.

Do przedwojennego dorobku liczącego 57 prac, po wojnie Borsuk dodał dalsze 142 prace. Trochę zawiedziony teorią retraktów, wśród których sam ujawnił twory paradoksalne (ANR nierozkładalny [23], AR nieprzywiedlny [74], AR niezawierający dysku [119] itp.), w 1968 roku zapoczątkował teorię kształtu [128]. W jeszcze większym stopniu niż teoria retraktu także teoria kształtu była dziełem jednego człowieka: Borsuk nie tylko sformułował podstawowe koncepcje tej teorii, lecz także przez wiele lat pisał prace, przyciągał uczniów i formułował problemy, które na długo wyznaczyły jej rozwój. Przewodnią ideą teorii kształtu było porównywanie przestrzeni topologicznych XY nie za pomocą przekształceń ciągłych, jak się to robi w topologii klasycznej, gdzie przestrzenie XY uważa się za topologicznie równoważne, jeśli są homeomorficzne, tzn. jeśli istnieje między nimi przekształcenie wzajemnie jednoznacznie i obustronnie ciągłe, ale za pomocą ciągów przekształceń ciągłych przestrzeni Z, w której X Y są zanurzone (najczęściej Z jest kostką Hilberta). Jeśli taki ciąg jest fundamentalny, tzn. przekształca Z na siebie w taki sposób, że otoczenia X przechodzą na otoczenia Y (ale niekoniecznie samo X na Y) i spełniają pewne warunki o charakterze homotopijnym, to mówi się, że XY mają ten sam kształt (ang. shape), Sh(X) = Sh(Y). Podobnie jak teoria homotopii, także teoria kształtu jest zorientowana na badanie globalnych własności przestrzeni topologicznych, ale w odróżnieniu od tej pierwszej nie wymaga ona dobrych własności lokalnych badanych przestrzeni i na tym polega jej wartość. Podsumowaniem badań Borsuka i licznych jego uczniów w tym zakresie była monografia10, w której cytował 36 prac własnych, w tym 4 wspólne. Idee Borsuka zostały szybko podjęte przez licznych matematyków i rozwinięte w różnych kierunkach, czego dowodzą setki już prac, ukazujących się na ten temat.

Każda praca Borsuka zawierała interesujące pomysły, często podejmowane potem przez innych. Przykładem mogą być trzy prace o hiperprzestrzeniach (wspólna z Ulamem praca [5], w której autorzy wprowadzili n-krotny produkt symetryczny, wspólna z Mazurkiewiczem praca [6] o łukowej spójności hiperprzestrzeni podzbiorów zwartych, która doprowadziła Menachema Wojdysławskiego do słynnego potem pytania (czy hiperprzestrzeń podzbiorów domkniętych odcinka jest kostką Hilberta?) i praca [86], w której Borsuk zmodyfikował metrykę Hausdorffa na potrzeby ANR-ów).

Intrygujące pytania Borsuka wpisane do Księgi Szkockiej, czy produkt kostki Hilberta i triodu jest kostką Hilberta i czy produkt nieskończenie wielu triodów jest kostką Hilberta (problem 175), oraz podjęcie przezeń [110] problematyki Q-rozmaitości (tj. rozmaitości wzorowanych na kostce Q Hilberta) zapoczątkowały intensywne badania topologii kostki Hilberta. W szczególności, ogólniejsze od problemu 175 pytania Borsuka [110], czy produkt Q-rozmaitości i wielościanu (ogólniej, zwartego ANR) jest Q-rozmaitością oraz czy każda Q-rozmaitość jest produktem kostki Hilberta i wielościanu – okazały się bardzo trudne i zajęły lata pracy wielu wybitnym topologom11. Rezultaty uzyskane w tym zakresie ogromnie wzbogaciły topologię nieskończenie wymiarową, w znacznej mierze inspirując jej rozwój.

W pracy [54] Borsuk wysunął problem jednoznaczności rozkładu przestrzeni na składniki produktu kartezjańskiego i pokazał, że jeśli składniki kartezjańskie wielościanu mają wymiar ≤ 1, to są jedyne, a w pracy [58] uogólnił ten wynik na przypadek składników wymiaru ≤ 2. Kontynuował ten wątek w 6 dalszych pracach. Te wyniki Borsuka nabrały dodatkowego znaczenia w świetle zaskakującego wyniku R.H. Binga, który skonstruował rozkład R4 = R1 × G, gdzie G jest przestrzenią różną od R312.

Talent i wielostronność Borsuka widać także w łatwym wchodzeniu w problematykę nieleżącą w głównym nurcie jego zainteresowań, jak teoria punktu stałego (m.in. [85]), teoria wymiaru ([29], [41], [43], [113], [115]), analiza funkcjonalna (ważna praca [21], w której rozwiązał pewien problem Banacha) itp.

Będąc znakomitym wykładowcą, profesor pisywał także oryginalne i ciekawe podręczniki akademickie13.

Uczony miał wielki talent matematyczny, mówił i wykładał jasno i zawsze przyciągał wielu uczniów, od których dużo wymagał, ale jednocześnie był dla nich bardzo opiekuńczy. Należeli do nich: Samuel Eilenberg, Andrzej Kosiński, Jan Jaworowski, Andrzej Kirkor, Włodzimierz Holsztyński, Anna Gmurczyk, Jerzy Dydak, Juliusz Olędzki, Sławomir Nowak, Stanisław Spież (z tymi miał wspólne prace), a także Hanna Patkowska, Karol Sieklucki, Henryk Toruńczyk i inni. Jeden z nich tak go charakteryzował: „Jego nadzwyczajna pracowitość, obowiązkowość i punktualność łączą się z wielką przystępnością i uprzejmością [...] [cechuje go] wielka jasność i precyzja wykładu”14.

Był odważny, ale publicznie zazwyczaj angażował się dyskretnie. W okresie niegodnej antysemickiej fali 1968 roku najpierw starał się osłaniać swoich studentów, a kiedy okazało się to nieskuteczne – ustąpił z Uniwersytetu Warszawskiego. Oficjalną przyczyną był stan zdrowia, ale w istocie była to reakcja na nagonkę, której ofiarą padło wielu jego uczniów.

Jednym z dużych osiągnięć organizacyjnych matematyków polskich było powołanie Państwowego Instytutu Matematycznego w 1948 roku (w 1952 roku przekształconego w Instytut Matematyczny PAN). Profesor był z tym Instytutem związany od jego powstania, m.in. jako zastępca dyrektora do spraw badań naukowych w latach 1956–1967 i kierownik Działu (później Zakładu) Topologii w latach 1948–1975, tj. do przejścia na emeryturę. Do końca życia prowadził w tym Instytucie seminarium z topologii, z którego wyszło wielu znanych topologów.

Za swoją działalność prof. Borsuk otrzymał wiele wyróżnień. Członek Towarzystwa Naukowego Warszawskiego (korespondent 1937, zwyczajny 1945) i członek korespondent Polskiej Akademii Umiejętności w Krakowie. Po powstaniu PAN został jej członkiem (korespondentem 1952, zwyczajnym 1956). Był też członkiem korespondentem Bułgarskiej Akademii Nauk, a krótko przed śmiercią został powołany na członka Papieskiej Akademii Nauk. Uniwersytet w Zagrzebiu nadał mu w 1976 roku godność doktora honoris causa. Od 1929 roku był członkiem Polskiego Towarzystwa Matematycznego; przez jedną kadencję był skarbnikiem i przez dwie kadencje prezesem Oddziału Warszawskiego. Od 1975 roku członek honorowy PTM. Od 1946 sekretarz redakcji, a od 1952 zastępca redaktora „Fundamenta Mathematicae”, wydawał też „Dissertationes Mathematicae”. Członek komitetów redakcyjnych „Biuletynu PAN” (seria nauk matematycznych, astronomicznych i fizycznych) oraz serii wydawniczej „Monografie Matematyczne”. Odznaczony m.in. Krzyżem Oficerskim (1954) i Krzyżem Komandorskim OOP (1958), Medalem im. Kopernika (1975), Medalem im. W. Sierpińskiego (1976), Sztandarem Pracy I klasy (1976), medalem KEN (1978). Otrzymywał nagrody państwowe (raz I klasy i dwa razy II klasy), resortowe i PTM. Laureat nagrody Jurzykowskiego.

Karol Borsuk zmarł 24 stycznia 1982 roku w Warszawie i został pochowany na Cmentarzu Powązkowskim.

1Dorobek naukowy Borsuka został zgromadzony w jego dziełach zebranych: K. Borsuk, Collected Papers, 2 t., Warszawa 1983, które zawierają 166 jego prac. Ponadto napisał 2 monografie i parę podręczników, a łączna lista jego publikacji matematycznych liczy 199 pozycji. Numery w klamrach odnoszą się do spisu zamieszczonego w obu tomach dzieł zebranych. Omówieniu jego dorobku został poświęcony tom „Topological Methods in Nonlinear Analysis” 1993, t. I, nr 1, a także osobne artykuły, w tym: B. Knaster, Karol Borsuk, „Nauka Polska” 1964, R. 12, nr 3 (51), s. 61–65; J. Dydak, Ideas and influence of Karol Borsuk, „Wiadomości Matematyczne” 2012, t. XLVIII, nr 2, s. 81–95. Biogramy K. Borsuka zawierają: Wielka encyklopedia PWN, t. IV; A. Śródka, P. Szczawiński, Biogramy Uczonych Polskich, cz. 3: Nauki Ścisłe; A. Śródka, Uczeni polscy XIX-XX stulecia, t. IV, Warszawa 1998; Słownik biograficzny matematyków polskich, red. S. Domoradzki, D. Węglowska, Z. Pawlikowska-Brożek, Tarnobrzeg 2003; R. Duda, Matematycy XIX i XX wieku związani z Polską, Wrocław 2012.

2K. Borsuk, Sur les rétractes, „Fundamenta Mathematicae” 1931, t. XVII, s. 152–170 = [2].

3Przypuszczenie Borsuka, że każdy ANR ma typ homotopii wielościanu, zostało potwierdzone: J. E. West, Mapping Hilbert cube manifolds to ANR’s. A solution of a conjecture of Borsuk, „Annals of Mathematics” 1977, t. CVI, s. 1–18.

4K. Borsuk, Theory of Retracts, „Monografie Matematyczne” 1967, t. LXIV, Warszawa 1967 = [125].

5K. Borsuk, O zagadnieniu topologicznego scharakteryzowania sfer euklidesowych, „Wiadomości Matematyczne” 1934, t. XXXVIII, s. 1–30 = [24].

6Por. H. Steinlein, Borsuk’s antipodal theorem and its generalisations and applications: a survey, „NATO Advanced Study Institute” 1985, t. XCV, s. 166–235.

7J. C. Moore, On a theorem of Borsuk, „Fundamenta Mathematicae” 1956, t. XLIII, s. 195–201.

8E. Spanier, On Borsuk’s cohomotopy groups, „Annals of Mathematics” 1949, t. L, s. 203–245.

9T. Manteuffel, Uniwersytet Warszawski w latach wojny i okupacji. Kronika 1939/40–1944/45, Warszawa 1948, s. 47.

10K. Borsuk, Theory of shape, „Monografie Matematyczne” 1975, t. LXIX = [164].

11Odpowiedź pozytywną uzyskał T.A. Chapman, Hilbert cube manifolds, „Bulletin of the American Mathematical Society” 1970, t. LXXVI, s. 1326–1330.

12R.H. Bing, A decomposition of E3 into points and tame arcs such that the decomposition space is topologically different from E3, „Annals of Mathematics” 1957, t. LXV, s. 484–500.

13K. Borsuk, Ćwiczenia z analizy matematycznej, Warszawa 1951; Geometria analityczna w n wymiarach, Warszawa 1950 (wznowienia 1962, 1966 i 1976; przekład angielski 1969); wspólnie z W. Szmielew, Podstawy geometrii, Warszawa 1955 (wznowienia 1970 i 1972).

14K. Sieklucki, Karol Borsuk – trzy rocznice, „Wiadomości Matematyczne” 1971, t. XIII, s. 43–55.