Andrzej Mostowski
Urodzony 1 XI 1913 we Lwowie. Studia na UW. Uzupełniające studia w Wiedniu i Zurychu (1936–1938). Doktorat na UW (1939). W czasie II wojny światowej nauczyciel na tajnych kompletach. Habilitacja na UJ (1945). Adiunkt Politechniki Śląskiej. Profesor UW (1947). Kierownik Katedry Algebry UW (1952–1968), następnie kierownik Zakładu Podstaw Matematyki (1970–1975). Dziekan Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii UW (1950–1952).
Matematyk, pod silnym wpływem warszawskiej szkoły matematycznej i lwowsko-warszawskiej szkoły logicznej. Badania nad teorią mnogości, zagadnieniami rozstrzygalności, stosowaniem metod algebraicznych i topologicznych. Uogólnił twierdzenie Godla o niezupełności i nierozstrzygalności teorii zawierających arytmetykę.
Członek PAN (1956). Kierownik Działu Podstaw Matematyki Państwowego Instytutu Matematycznego (potem Instytut Matematyczny PAN). Sekretarz (1946–1948) i wiceprezes Polskiego Towarzystwa Matematycznego.
Zmarł 22 VIII 1975 w Vancouver.
Algebra wyższa, Warszawa 1953; Recent State of Investigations in Foundations of Mathematics, Warszawa 1955; Algebra liniowa, Warszawa 1966; Constructible Sets with Applications, Amsterdam 1969; Foundational Studies. Selected Works, Amsterdam 1978.
J. Łoś, O Andrzeju Mostowskim, „Wiadomości Matematyczne” 1979, 1, 45–47; Z. Pawlikowska-Brożek, Mostowski, Andrzej, [w:] PSB, t. XXII, Wrocław 1977.
Lwów i Warszawę łączyły w okresie międzywojennym bliskie stosunki, których ilustracją była działalność Wacława Sierpińskiego (warszawianin, ale swoją wielką karierę zaczynał we Lwowie i często to miasto odwiedzał), Jana Łukasiewicza (lwowianin, którego początkowy okres kariery biegł we Lwowie, ale cały okres międzywojenny spędził w Warszawie), Kazimierza Kuratowskiego (warszawianin, który 7 dobrych lat swego życia spędził we Lwowie) i wielu innych. Przykładem istnienia takich bliskich relacji między tymi naukowymi ośrodkami było także życie Andrzeja Mostowskiego.
Andrzej Stanisław Mostowski urodził się 1 listopada 1913 roku we Lwowie w rodzinie Stanisława, lekarza i asystenta w Katedrze Chemii Fizycznej Uniwersytetu Lwowskiego, i Zofii z Kramsztyków, pracownicy banku1. Latem 1914 roku rodzina wyjechała na wakacje do Zakopanego. Po wybuchu wojny ojciec został zmobilizowany i zginął w czasie polsko-ukraińskich walk o Lwów w listopadzie 1918 roku, natomiast matka z dziećmi pozostała w Zakopanem do 1920 roku, po czym przeniosła się do Warszawy i w tym mieście biegło odtąd ich życie. Mostowski Lwowa więc nie mógł pamiętać i zawsze czuł się warszawianinem, ale naukowo podlegał wpływom warszawskiej szkoły matematycznej i lwowsko-warszawskiej szkoły logicznej. Najpierw jednak uczęszczał (w latach 1923–1931) do Gimnazjum im. Stefana Batorego, a potem (lata 1931–1936) studiował matematykę na UW i już w czasie studiów pociągnęły go podstawy matematyki, teoria mnogości i logika. Logika i związane z nią podstawy matematyki były domeną lwowsko-warszawskiej szkoły logicznej, której założycielami byli Jan Łukasiewicz i Stanisław Leśniewski (obaj przybyli ze Lwowa), ale Mostowski za mistrza uważał Alfreda Tarskiego, który wprawdzie był wychowankiem Leśniewskiego, ale wbrew niemu pasjonował się także teorią mnogości, domeną warszawskiej szkoły matematycznej. Wielki nań wpływ miał także mający podobne zainteresowania logiczno-matematyczne Adolf Lindenbaum. Takie powiązania sprawiły, że zainteresowania naukowe Mostowskiego skupiły się na szeroko rozumianej logice matematycznej i podstawach matematyki, w tym na teorii mnogości, teorii rekursji (funkcje obliczalne), teorii modeli, rachunkach logicznych i teorii dowodu (zagadnienia nierozstrzygalności). Stał się wybitnym przedstawicielem warszawskiego środowiska logiczno-matematycznego i do każdej z uprawianych przez siebie dyscyplin wniósł poważny wkład, niejednokrotnie zapoczątkowując nowe kierunki badań2.
Mostowski uzupełniał swoje studia w Wiedniu (rok 1936/1937), gdzie słuchał wykładu Kurta Gödla o niezupełności, i w Zurychu (rok 1937/1938), gdzie słuchał wykładów Hermanna Weyla o symetrii i Wolfganga Pauliego z fizyki, a także brał udział w seminariach, które prowadzili Georg Pólya i Paul Bernays.
Na początku swojej drogi naukowej Mostowski zainteresował się, nadal wówczas mocno kontrowersyjnym, aksjomatem wyboru, tworząc pewną metodę dowodzenia jego niezależności od różnych zasad teorii mnogości, później nazwaną metodą permutacyjną Fraenkla-Mostowskiego. Jej idea wzięła się z uściślenia wcześniejszych koncepcji Russella i Fraenkla, charakterystyczną zaś jej cechą było intensywne stosowanie delikatnych metod teorii grup permutacji (przydało się więc solidne wykształcenie matematyczne). Posługując się tą metodą, Mostowski dowiódł m.in. niezależności aksjomatu wyboru od zasady liniowego uporządkowania (słabszej wersji aksjomatu wyboru)3.
Innym obszarem jego wczesnych zainteresowań była teoria zbiorów skończonych. Skoro teoria mnogości miała być podstawą matematyki, to pierwotnym pojęciem stawał się zbiór, a nie liczba, a zatem nie można definiować zbioru skończonego jako zbioru, którego elementy można policzyć. Inną definicję zbioru skończonego podał Alfred Tarski i na jej podstawie szkoła warszawska rozwinęła teorię zbiorów skończonych. W tę tematykę włączył się Mostowski i w 1939 roku doktoryzował się na UW na podstawie rozprawy O niezależności definicji skończoności w systemie logik, której promotorem był Kuratowski (Tarski nie był profesorem, a przeto nie mógł pełnić tej funkcji).
Po wybuchu wojny Mostowski utrzymywał się początkowo z prywatnych lekcji, potem pracował jako pomocnik księgowego i wykładał na tajnych kompletach, a nadto przygotowywał habilitację. Jak pisał Wacław Sierpiński: „w lipcu 1944 r. była w toku habilitacja dr Andrzeja Mostowskiego na docenta matematyki. [...] Do ukończenia habilitacji pozostało już tylko kolokwium habilitacyjne i wykład habilitacyjny. [...] Dokończeniu formalności habilitacyjnych przeszkodziło powstanie sierpniowe”4.
W wojennej Warszawie zawarł w 1944 roku związek małżeński z Marią Ireną z Matuszewskich, którą nieco wcześniej poznał na tajnych kompletach. Doczekali się dwóch synów Tadeusza (matematyk) i Jana oraz córki Marii Krystyny.
Zmuszony wtedy do opuszczenia miasta, „Mostowski pozostawił zeszyt, w którym zapisywał wszystkie swoje odkrycia naukowe począwszy od 1942 r. Jak sam wspominał, był to ładny, bardzo gruby zeszyt i kiedy w czasie powstania Niemcy kazali opuścić dom, w którym mieszkał wraz z matką, musiał wybrać czy wziąć ten zeszyt, czy bochenek chleba. Wybrał chleb. Zeszyt spłonął”5. I nigdy nie został odtworzony, choć – jak wiadomo z późniejszych jego uwag – zawierał rzeczy bardzo cenne.
Jak wielu warszawiaków, w maju 1945 roku Mostowski znalazł się w Krakowie, gdzie został adiunktem Politechniki Śląskiej z tymczasową siedzibą w tym mieście i habilitował się na UJ na podstawie pracy o aksjomacie wyboru dla zbiorów skończonych6. Epizod krakowski trwał krótko, bo już w grudniu 1945 roku Mostowski wrócił do Warszawy, gdzie został pracownikiem UW i był nim do końca życia, początkowo jako zastępca profesora, od 1947 roku jako profesor nadzwyczajny i od 1951 – profesor zwyczajny. Kierował w latach 1952–1968 Katedrą Algebry, a po reorganizacji i likwidacji katedr – Zakładem Podstaw Matematyki (1970–1975). Był w latach 1950–1952 dziekanem Wydziału Matematyki, Fizyki i Chemii UW, a od 1966 roku do śmierci – wicedyrektorem Instytutu Matematyki na Wydziale Matematyki i Mechaniki UW. Od początku istnienia Państwowego Instytutu Matematycznego (w 1952 roku przekształconego na Instytut Matematyczny PAN) był tam kierownikiem Działu Podstaw Matematyki, a w latach 1956–1964 również zastępcą dyrektora. Po wprowadzeniu jednoetatowości w 1970 roku, wybrał UW i zrezygnował z pracy w Instytucie Matematycznym PAN. Był też sekretarzem (1946–1948) i wiceprezesem Polskiego Towarzystwa Matematycznego, łącząc tę ostatnią funkcję z prezesowaniem Oddziałowi Warszawskiemu PTM (lata 1952–1955).
Jednym z zagadnień, jakie Mostowski sobie wcześnie postawił i jakie go odtąd stale pasjonowało, było: jak mierzyć stopień komplikacji pojęć matematycznych? Mostowski zbudował7 (niezależnie od Stevena Kleene’ego, który opublikował na ten temat pracę w 1943 roku, podczas gdy Mostowski mógł to zrobić dopiero po wojnie) klasyfikację pojęć arytmetycznych, zwaną dziś hierarchią Kleene’ego-Mostowskiego, a opartą na wyznaczaniu najmniejszej liczby kwantyfikatorów potrzebnych do zdefiniowania takiego pojęcia. Na przykład pojęcie granicy należy do trzeciej klasy zaczynającej się od kwantyfikatora ogólnego, oznaczanej przez Mostowskiego symbolem Π03. „Jeśli obok kwantyfikatorów liczbowych (naturalnych) wprowadzimy kwantyfikatory funkcyjne (lub rzeczywiste), to przechodzimy na wyższe piętro tej samej hierarchii, mianowicie dochodzimy do hierarchii analitycznej”. Mając w ten sposób zbudowaną hierarchię pojęć matematycznych, można stawiać dalsze pytania i np. Mostowski udowodnił, że „każda niesprzeczna teoria o prostej (obliczalnej) aksjomatyce ma model, który jest klasy ∑02 ∩ Π02”8. Inny typ pytań odnoszących się do hierarchii, a długo interesujących Mostowskiego, dotyczył badań nad aksjomatyzowalnością i nad twierdzeniem Godla o niezupełności arytmetyki.
W 1948 roku Mostowski zbudował algebraiczną metodę stwierdzania niemożliwości udowodnienia różnych twierdzeń (znanych w innych logikach) w logice intuicjonistycznej9.
Z badań Mostowskiego nad twierdzeniem Gödla o niezupełności arytmetyki10 wynikły nie tylko daleko idące wzmocnienia i uogólnienia tego twierdzenia, lecz także popularny jego wykład. Podobny charakter miały jego badania nad twierdzeniem Gödla-Bernaysa11.
W heroicznym okresie teorii modeli (lata 50. XX wieku), Mostowski zajął się trzema jej problemami: zależnością teorii produktu modeli A i B od teorii modelu A i teorii modelu B12, badaniem modeli przeliczalnych traktowanych jako punkty zbioru Cantora, oraz istnienia modeli (dla teorii zupełnych) mających bogatą grupę automorfizmów13. Ta ostatnia praca (wspólna z Andrzejem Ehrenfeuchtem) była początkiem badania modeli z elementami nieodróżnialnymi.
Z pytania o charakterze filozoficznym: która arytmetyka jest „prawdziwą arytmetyką, tą, o którą chodziło matematykom wszystkich czasów” – wynikły długotrwałe badania Mostowskiego, zaczęte w połowie lat 50., nad metodami infinitezymalnymi w matematyce. „Wyniki uzyskane w trakcie tych badań [...] doprowadziły do powstania w Warszawie ośrodka zajmującego się tą dziedziną podstaw matematyki”14. W tym nurcie ukazała się fundamentalna praca trzech autorów15 o wzmocnieniu arytmetyki pierwszego rzędu.
Innym ważnym kierunkiem podjętym przez Mostowskiego były zbiory konstruowalne16.
Bardzo cenne były podsumowania najpierw dwóch, a potem trzech dziesięcioleci badań w zakresie logiki i podstaw matematyki17. Był także redaktorem „Biuletynu PAN” (sekcja matematyki, astronomii i fizyki), członkiem komitetów redakcyjnych „Fundamenta Mathematicae”, „Dissertationes Mathematicae”, „Studia Logica”, „Journal of Symbolic Logic” i innych, współtwórcą i współredaktorem „Annals of Mathematical Logic”.
Jako profesor był znakomitym wykładowcą i autorem wartościowych monografii18.
W środowisku matematyków Mostowski zawsze cieszył się dużym autorytetem, o czym tak pisał jego przyjaciel: „Są pewne cechy charakteru, które powodują, że społeczność liczy się ze zdaniem danego człowieka bardziej niż ze zdaniem innych. Tymi cechami są prawość, prostolinijność i bezinteresowność, być może również coś najtrudniejszego: życzliwość dla ludzi. Dzięki tym cechom zajął prof. Andrzej Mostowski w społeczeństwie matematycznym pozycję, która nie być może nadana i o którą trudno się ubiegać. Miał to, co się nazywa autorytetem moralnym”19.
Mostowski szybko zdobył międzynarodowe uznanie, a jego autorytet moralny i intelektualny był powszechnie uznawany. Wyrazem tego były liczne zaproszenia, które chętnie przyjmował. Był we władzach Association for Symbolic Logic, wiceprezesem (1964–1968) i od 1972 roku prezesem Division of Logic, Methodology and Philosophy w International Union of Logic, Philosophy and History of Science (w skrócie IUHMPS/DLMPS). O dużym uznaniu dla jego dorobku może też świadczyć ilość prac umieszczonych w tomie „Fundamenta Mathematicae” z okazji 60. rocznicy jego urodzin, a po jego śmierci także kilka konferencji poświęconych specjalnie jego wynikom i poglądom. Wyrazem uznania są jego dzieła zebrane20.
Naukową miłość Mostowskiego można określić jako metamatematykę teorii mnogości. Jej poświęcił większość swoich prac, wywierając jednocześnie wielki wpływ na jej rozwój w świecie, a w szczególności na kształt logiki matematycznej i podstaw matematyki w Polsce.
Mimo skromności i dystansu wobec zaszczytów otrzymał ich wiele. Członek TNW (1950). Członek PAN (korespondent 1956, rzeczywisty 1963). Otrzymał Nagrodę Państwową II stopnia (1952) i I stopnia (1966), oraz nagrodę Fundacji im. Jurzykowskiego (1972). Został 1973 członkiem Fińskiej Akademii Nauk. Odznaczony Krzyżem Kawalerskim (1954), Krzyżem Oficerskim (1958) i Krzyżem Komandorskim OOP.
Zmarł 22 sierpnia 1975 roku w Vancouver.
1Biogramy Andrzeja Mostowskiego pióra Zofii Pawlikowskiej-Brożek można znaleźć w Polskim słowniku biograficznym, t. XXII i Wielkiej encyklopedii PWN, t. XVIII. Ukazywały się także osobne artykuły, w tym: J. Łoś, O Andrzeju Mostowskim, „Wiadomości Matematyczne” 1979, t. XXII, nr 1, s. 45–47; A. Grzegorczyk, W. Marek, Zarys dorobku naukowego Andrzeja Mostowskiego, ibidem, s. 47–52; S. Krajewski, M. Srebrny, O życiu i działalności Andrzeja Mostowskiego, ibidem, s. 53–64; H. Rasiowa, Andrzej Mostowski, „Studia Logica” 1977, t. XXXVI, nr 1–2, s. 1–3; A. Grzegorczyk, Andrzej Mostowski, „Nauka Polska” 1970, R. 18, nr 4 (88), s. 80–84; S. Hartman, Andrzej Mostowski, „Matematyka” 1979, R. 29, nr 2 (142), s. 67–70; H. Rasiowa, Andrzej Mostowski (1913–1975), „Nauka Polska” 1976, R. 24, nr 9–10 (135–136), s. 233–237; H. Rasiowa, A tribute to Andrzej Mostowski, [w:] Logic Colloquium ‘76, red. R. O. Grandy, J. M. E. Hyland, Amsterdam 1977, s. 139–144.
2Omówienie dorobku naukowego Mostowskiego można znaleźć w różnych opracowaniach, z których na szczególną uwagę zasługują: Andrzej Mostowski and Foundational Studies, red. A. Ehrenfeucht, V. M. Marek, M. Srebrny, Amsterdam 2008 (książka zawiera 11 artykułów o Mostowskim oraz pełną bibliografię jego prac); Andrzej Mostowski, Helena Rasiowa, Cecylia Rauszer in memoriam, [w:] Conference Trends in Logic III, Warsaw 2005. Spore fragmenty dotyczące wyników i poglądów Mostowskiego zawierają także książki: R. Murawski, Filozofia matematyki i logiki w Polsce międzywojennej, Toruń 2011; J. Woleński, Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska, Warszawa 1985. Pełna bibliografia prac Mostowskiego liczy 118 pozycji, por. W. Marek, A bibliography of Andrzej Mostowski’s works, „Studia Logica” 1977, t. XXXVI, nr 1–2, s. 3–8.
3A. Mostowski, Über die Unabhängigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ordnungsprinzip, „Fundamenta Mathematicae” 1939, t. XXXII, s. 201–252.
4S. Krajewski, M. Srebrny, O życiu..., op. citv s. 56.
5Ibidem.
6A. Mostowski, Axiom of choice for finite sets, „Fundamenta Mathematicae” 1945, t. XXXIII, s. 137–168.
7Idem, On definable sets of positive integers, „Fundamenta Mathematicae” 1947, t. XXXIV, s. 81–112.
8Oba cytaty pochodzą z pracy: A. Grzegorczyk, W. Marek, Zarys dorobku..., op. cit., s. 49.
9A. Mostowski, Proofs of non-deducibility in intuitionistic functional calculus, „Jurnalof Symbolic Logic” 1948, t. XIII, s. 204–207.
10Idem, An undecidable arithmetical statement, „Fundamenta Mathematicae” 1949, t. XXXVI, s. 143–164; idem, Sequences undecidable in formalized arithmetic, [w:] Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam 1952; idem, A generalization of the incompleteness theorem, „Fundamenta Mathematicae” 1961, t. XLIX, s. 205–232.
11Idem, Some impredicative definitions in the axiomatic set-theory, „Fundamenta Mathematicae” 1951, t. XXXVII, s. 111–124 oraz 1952, t. XXXVIII, s. 238.
12Idem, On direct products of theories, „Jurnalof Symbolic Logic ” 1952, t. XVII, s. 1–31.
13A. Ehrenfeucht, A. Mostowski, Models of axiomatic theories admitting automorphisms, „Fundamenta Mathematicae” 1956, t. XLIII, s. 50–68.
14Oba cytaty pochodzą z pracy: A. Grzegorczyk, W. Marek, Zarys dorobku..., op. cit., s. 49–50.
15A. Grzegorczyk, A. Mostowski, C. Ryll-Nardzewski, TAe classical and the ω-complete arithmetic, „Journal of Symbolic Logic ” 1958, t. XXIII, s.188–206.
16A. Mostowski, Constructible sets with applications, Amsterdam 1969 (przekł. ros. 1970).
17Idem (współpraca: A. Grzegorczyk, S. Jaśkowski, J. Łoś, S. Mazur, H. Rasiowa, R. Sikorski) The present state of investigations in foundations of mathematics, „Rozprawy Matematyczne” 1955, t. IX; Idem, Thirty years of foundational studies. Lectures on the development of mathematical logic and the study of the foundations of mathematics in 1930–1964, „Acta Philosopfica Fennica” 1965, t. XVII, s. 1–180.
18Idem, Logika matematyczna, „Monografie Matematyczne” 1948, t. XVIII, Warszawa 1948; idem (wspólnie z K. Kuratowskim), Teoria mnogości, „Monografie Matematyczne” 1952, t. XXVII, (przekł. ang. 1967, wznowienie 1976; przekł. ros. 1970).
19J. Łoś, O Andrzeju..., op. cit., s. 46.
20A. Mostowski, Foundational Studies. Selected Works, t. I, Amsterdam 1978 (książka zawiera życiorys, bibliografię oraz omówienie wyników prac Andrzeja Mostowskiego).